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山东大学MBA辅导班指导—数列之无敌解法
基本数列是等差数列和等比数列
一、等差数列
一个等差数列由两个因素确定：首项a1和公差d.
得知以下任何一项，就可以确定一个等差数列(即求出数列的通项公式)：
1、首项a1和公差d
2、数列前n项和s(n),因为s(1)=a1,s(n)-s(n-1)=a(n)
3、任意两项a(n)和a(m)，n,m为已知数
等差数列的性质：
1、前N项和为N的二次函数(d不为0时)
2、a(m)-a(n)=(m-n)*d
3、正整数m、n、p为等差数列时，a(m)、a(n)、a(p)也是等差数列
例题1：已知a(5)=8,a(9)=16,求a(25)
解： a(9)-a(5)=4*d=16-8=8
a(25)-a(5)=20*d=5*4*d=40
a(25)=48
例题2：已知a(6)=13,a(9)=19,求a(12)
解：a(6)、a(9)、a(12)成等差数列
a(12)-a(9)=a(9)-a(6)
a(12)=2*a(9)-a(6)=25
二、等比数列
一个等比数列由两个因素确定：首项a1和公差d.
得知以下任何一项，就可以确定一个等比数列(即求出数列的通项公式)：
1、首项a1和公比r
2、数列前n项和s(n),因为s(1)=a1,s(n)-s(n-1)=a(n)
3、任意两项a(n)和a(m)，n,m为已知数
[---P---]等比数列的性质：
1、a(m)/a(n)=r^(m-n)
2、正整数m、n、p为等差数列时，a(m)、a(n)、a(p)是等比数列
3、等比数列的连续m项和也是等比数列
即b(n)=a(n)+a(n+1)+...+a(n+m-1)构成的数列是等比数列。
三、数列的前N项和与逐项差
1、如果数列的通项公式是关于N的多项式，最高次数为P，则数列的前N项和是关于N的多项式，最高次数为P+1。(这与积分很相似)
2、逐项差就是数列相邻两项的差组成的数列。
如果数列的通项公式是关于N的多项式，最高次数为P，则数列的逐项差的通项公式是关于N的多项式，最高次数为P-1。(这与微分很相似)
例子：
1，16，81，256，625，1296 (a(n)=n^4)
15,65,175,369,671
50,110,194,302
60,84,108
24,24
从上例看出，四次数列经过四次逐项差后变成常数数列。
等比数列的逐项差还是等比数列
四、已知数列通项公式A(N)，求数列的前N项和S(N)。
这个问题等价于求S(N)的通项公式，而S(N)=S(N-1)+A(N)，这就成为递推数列的问题。
解法是寻找一个数列B(N)，
使S(N)+B(N)=S(N-1)+B(N-1)
从而S(N)=A(1)+B(1)-B(N)
猜想B(N)的方法：把A(N)当作函数求积分，对得出的函数形式设待定系数，利用B(N)-B(N-1)=-A(N)求出待定系数。
[---P---]例题1：求S(N)=2+2*2^2+3*2^3+...+N*2^N
解：S(N)=S(N-1)+N*2^N
N*2^N积分得(N*LN2-1)*2^N/(LN2)^2
因此设B(N)=(PN+Q)*2^N
则 (PN+Q)*2^N-[P(N-1)+Q)*2^(N-1)=-N*2^N
(P*N+P+Q)/2*2^N=-N*2^N
因为上式是恒等式，所以P=-2，Q=2
B(N)=(-2N+2)*2^N
A(1)=2，B(1)=0
因此：S(N)=A(1)+B(1)-B(N) =(2N-2)*2^N+2
例题2：A(N)=N*(N+1)*(N+2)，求S(N)
解法1：S(N)为N的四次多项式，
设：S(N)=A*N^4+B*N^3+C*N^2+D*N+E
利用S(N)-S(N-1)=N*(N+1)*(N+2)
解出A、B、C、D、E
解法2：
S(N)/3!=C(3，3)+C(4，3)+...C(N+2，3)=C(N+3，4)
S(N)=N*(N+1)*(N+2)*(N+3)/4
发布者：admin6
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